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Terminale STI Génie Mécanique

régimes sinusoïdaux

RAPPELS SUR LES REGIMES SINUSOIDAUX

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3. Fonctions sinusoïdales en électricité

3.1. Définitions

Sinus
Fig 4 : Forme générale d'une tension électrique sinusoïdale.
  • Définition :

    Une tension sinusoïdale est une grandeur périodique et alternative pouvant s'écrire sous la forme :

    u ( t ) = U . 2 . sin ( ωt + φ )

    t est le temps en seconde (s).
    ω est la pulsation en radians par seconde (rad/s).
    ωt + φ est la phase instantannée en radian (rad).
    φ est la phase à l'origine en radian (rad).

  • Valeur moyenne :

    <u> = 0 car il s'agit d'une fonction alternative.

  • Valeur efficace :

    La valeur efficace d'une grandeur sinusoïdale est : U = U ̂ 2 U ̂ est la valeur maximale du signal.

    C'est la valeur mesurée sur un voltmètre réglé en AC.

  • Période T :

    La période T d'un signal est, par définition, le plus petit intervalle de temps tel que le signal se reproduit identique à lui même. T s'exprime en seconde (s).

  • Pulsation ω :

    Comme est la période angulaire des signaux sinusoïdaux, on en déduit : ωT = 2π.

    Donc ω = 2 π T

  • fréquence f :

    f = 1 T ω = 2 π . f la fréquence s'exprime en Hertz (Hz).

3.2. Exemple

On considère le signal dont l'équation horaire est donnée ci-dessous.

u ( t ) = 10 . 2 . sin ( 314 t + 1 )

En déduire les valeurs de :

  • La pulsation
  • La fréquence
  • La période
  • La valeur efficace
  • La valeur crête
  • La phase à l'origine

Tracer la courbe représentative de u(t) .

3.3. Déphasage entre deux grandeurs sinusoïdales de même fréquence

Décalage horaire
Fig 5 : Décalage horaire entre deux tensions sinusoïdales de même fréquence, l'axe des abscisses est gradué en focntion du temps.
Déphasage
Fig 6 : Déphasage entre deux tensions sinusoïdales de même fréquence, l'axe des abscisses est gradué en fonction de la phase.

On considère deux tensions sinusoïdales ayant les expressions suivantes :

u 1 ( t ) = U 1 . 2 . sin ( ωt )

u 2 ( t ) = U 2 . 2 . sin ( ωt + φ )

Si les deux tensions ne passent pas par zéro sur un même front, aux mêmes instants, on dit que les tensions sont déphasés. Le déphasage entre u1(t) et u2(t) est un angle noté φ.

Comme l'axe horizontal de la figure 5 est gradué en fonction du temps, on visualise le déphasage sur le graphique par l'intermédiaire du décalage horaire entre les deux signaux :

Le temps t0 qui sépare 2 fronts montants ( ou 2 fronts descendant ) s'appelle le décalage horaire entre les 2 signaux :
t0 = t1 - t2

Si t0 est positif alors u2(t) est en avance sur u1(t)
Si t0 est négatif alors u2(t) est en retard sur u1(t)

Pour obtenir le déphasage, il faut modifier l'axe des abscisses et le graduer, non pas en fonction du temps, mais en fonction de la phase :

On obtient alors par une règle de 3 :

φ = 2 π . t 0 T avec φ en radian

φ = 360 . t 0 T avec φ en degré

Remarque : on a choisit de prendre l'une des deux tensions comme référence des phases (ici u1), c'est à dire de faire coïncider l'instant de « démarrage » de cette tension avec l'instant 0.

3.4. Quelques valeurs particulières du déphasage

Courbe en phase
Fig 7 : Signaux en phase.
Courbe en opposition de phase
Fig 8 :Signaux en opposition de phases.
Courbe en quadrature de phase
Fig 9 :Signaux en quadrature de phases.

Signaux en phase (Fig. 7):

On dit que deux signaux sont en phase, si le déphasage entre ces deux signaux vaut 0.

Signaux en opposition de phases (Fig. 8) :

On dit que deux signaux sont en opposition de phases, si le déphasage entre ces deux signaux vaut π.

Signaux en quadrature de phases (Fig. 9) :

On dit que deux signaux sont en quadrature de phases, si le déphasage entre ces deux signaux vaut ±π/2.

3.5. Représentation des grandeurs sinusoïdales

3.5.1. Pourquoi ces représentations ?

La loi des nœuds et la loi des mailles restent valables en régime sinusoïdal, mais uniquement sur les grandeurs instantanées. On sera alors amenés à résoudre des problèmes du type :

Loi des noeuds, loi des mailles

Or, on ne sait pas additionner directement des grandeurs sinusoïdales, pour cela, on a besoin de l'outil suivant :

3.5.2. Les vecteurs de Fresnel

Fresnel
Fig 10.
Vecteur de Fresnel
Fig 11 .

On se sert de la propriété mathématique suivante des grandeurs sinusoïdales : il y a équivalence entre une grandeur sinusoïdale et sont point représentatif dans le plan du cercle trigonométrique.

Ainsi, la tension sinusoïdale u ( t ) = U . 2 . sin ( ωt + φ ) peut être représentée par le point tournant P dessiné sur la figure 1 ci-contre.

Si toutes les grandeurs considérées ont même fréquence, elles tournent toutes à la même vitesse, alors peu importe l'instant où on regarde la figure. On peu choisir, pour simplifier le problème de tracer la figure à l'instant origine t=0. De même, seul le point origine O et le point P sont important, on n'est pas obligé de tracer le cercle. On obtient alors la figure 2 où le vecteur OP définit le vecteur de Fresnel relatif à la grandeur sinusoïdale u(t).

On associe à une grandeur sinusoïdale u(t) de valeur efficace U et de phase à l'origine φ, un vecteur de Fresnel défini de la façon suivante :

  • Longueur du vecteur égale à la valeur efficace (avec une échelle préalablement choisie).
  • Orientation du vecteur par rapport à un axe (O,x) horizontal égal à la phase à l'origine.

Toutes les relations valables sur les grandeurs instantanées (loi des mailles, loi des nœuds) le sont aussi sur les vecteurs de Fresnel associés.

3.5.3. Exemple d'utilisation

Fresnel
Fig 12.

On considère la portion de montage de la figure 12  :

On donne { i 1 ( t ) = 0,5 2 . sin ( 314 t + π 3 ) i 2 ( t ) = 0,3 2 . sin ( 314 t π 4 )

  1. Tracer les vecteurs de Fresnel associés à i1 et i2
  2. Donner la relation entre i, i1 et i2. En déduire une relation entre les vecteurs de Fresnel associés.
  3. Tracer le vecteur I associé à i(t).
  4. En déduire la valeur efficace de i.
  5. Donner l'équation horaire de i.

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