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Terminale STI Génie Mécanique

régimes sinusoïdaux

RAPPELS SUR LES REGIMES SINUSOIDAUX

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4. Application aux circuits linéaires

4.1. loi d'ohm en régime sinusoïdal

Soit un dipôle D linéaire quelconque alimenté en régime sinusoïdal :


Si u s'écrit : u ( t ) = U 2 . sin ωt

Alors i à la même forme d'onde que u avec un éventuel déphasage et s'écrit : i ( t ) = I 2 . sin ωt + φ

La loi d'Ohm énonce :

  • Le rapport U/I des valeurs efficaces de u et i est indépendant de l'amplitude de la tension, il ne dépend que de la fréquence.
    U/I est noté Z et s'appelle l'impédance du dipôle : Z = U I en Ω.
  • Le déphasage courant tension φ est indépendant de l'amplitude de la tension, il ne dépend que de la fréquence.

Le couple (Z ; φ) est caractéristique du dipôle D , connaître sa valeur suffit à le définir complètement.

4.2. Les dipôles passifs linéaires élémentaires

4.2.1. La résistance

Symbole :


Loi de fonctionnement sur les grandeurs instantanées : uR(t) = R.iR(t)R est la valeur de la résistance en Ohm (Ω).

En régime sinusoïdal, si iR est choisi comme référence des phases : { i R ( t ) = I R 2 . sin ωt u R ( t ) = U R 2 . sin ( ωt + φ R )

Alors l'impédance s'exprime : ZR = U I = R

et le déphase tension courant : φR = 0

Donc le courant et la tension sont en phase. Ainsi, un dipôle pour lequel le courant et la tension sont en phase est dit résistif, c'est à dire qu'il se comporte comme une résistance pure.

Diagramme de Fresnel associé :

U R et I R sont colinéaires.

4.2.2. L'inductance pure ou bobine parfaite

Symbole :


Loi de fonctionnement sur les grandeurs instantanées : uL(t) = L. d i L dt L est la valeur de L'inductance en Henry (H).

En régime sinusoïdal, si iL est choisi comme référence des phases : { i L ( t ) = I L 2 . sin ωt u L ( t ) = U L 2 . sin ( ωt + φ L )

Alors l'impédance s'exprime : ZL = U I = Lω

et le déphase tension courant : φL = + π/2

Donc la tension sont en quadrature de phase avance sur le courant.

Diagramme de Fresnel associé :

4.2.3. Le condensateur parfait

Symbole :


Loi de fonctionnement sur les grandeurs instantanées : { u C = q C i C = dq dt C est la valeur de la capacité en Farad en (F) et q est la valeur de la charge d'une armature du condensateur en Coulomb (C).

En régime sinusoïdal, si iC est choisi comme référence des phases : { i C ( t ) = I C 2 . sin ωt u C ( t ) = U C 2 . sin ( ωt + φ C )

Alors l'impédance s'exprime : ZC = U I = 1

et le déphase tension courant : φC = - π/2

Donc la tension sont en quadrature de phase retard sur le courant.

Diagramme de Fresnel associé :

4.2.4. Tableau récapitulatif

Dipôle Impédance Déphasage tension / courant Diagramme de Fresnel
Résistance R 0
Inductance + π/2
Condensateur 1 - π/2

4.3. Associations de dipôles linéaires

4.3.1. Le circuit R-L série

Schéma  :


On applique la loi des mailles : u(t) = uR(t) + uL(t)

De même sur les vecteurs de Fresnel associés : U = U R + U L

D'où le diagramme de Fresnel suivant :

On cherche Z, l'impédance du dipôle équivalent et φ, le déphasage tension-courant.

La loi d'Ohm impose : { U = Z . I U R = R . I U L = . I

Chaque côté du triangle a sa longueur proportionnelle à I. On peut donc simplifier par I. On obtient alors le triangle des impédances :

Par Pythagore, on en déduit : Z² = R² + (Lω)² d'où Z = R ² + ( ) ²

Par la trigonométrie : tan φ = R

Remarque : Le déphasage tension courant est toujours positif, la tension est toujours en avance sur le courant. Un tel dipôle est dit inductif.

 

A.N. : R = 100 Ω ; L = 200 mH ; f = 50 Hz. Calculer Z et φ

4.3.2. Le circuit R-C série

Schéma :


On applique la loi des mailles : u(t) = uR(t) + uC(t)

De même sur les vecteurs de Fresnel associés : U = U R + U C

D'où le diagramme de Fresnel suivant :

On cherche Z, l'mpédance du dipôle équivalent et φ, le déphasage tension-courant.

La loi d'Ohm impose : { U = Z . I U R = R . I U C = 1 . I

Chaque côté du triangle a sa longueur proportionnelle à I. On peut donc simplifier par I. On obtient alors le triangle des impédances :

Par Pythagore, on en déduit : Z² = R² + (1/Cω)² d'où Z = R ² + ( 1 ) ²

Par la trigonométrie : tan φ = 1 RCω

Remarque : Le déphasage tension courant est toujours négatif, la tension est toujours en retard sur le courant. Un tel dipôle est dit capacitif.

 

A.N. : R = 100 Ω ; C = 0,1 µF ; f = 50 Hz. Calculer Z et φ

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