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Terminale STI Génie Mécanique

Régimes triphasés équilibrés

REGIMES TRIPHASES EQUILIBRES

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7. Puissances en régime triphasé équilibré

7.1. Théorème de Boucherot

Comme en monophadé, la puissance active ou réactive d’un groupement de dipôles est égale à la somme des puissances actives ou réactives de chacun des dipôles :

Ptotal = P1 + P2 + ... + PN

Qtotal = Q1 + Q2 + ... + QN

Attention : le théorème de Boucherot ne s’applique pas sur les puissances apparentes.

7.3. Expressions des différentes puissances en régime triphasé équilibré

Pour déterminer l'expression de la puissance active, réactive ou apparente, on applique le théorème de Boucherot pour les deux couplages possibles :

  • Cas du couplage Y :

    Dans le cas du couplage étoile, chaque élément est soumis à la tension simple du réseau V et traversé par le courant de ligne I, ainsi :

    • La puissance active absorbée par un élément est VI.cosφ
    • Donc pour les 3 éléments : P = 3VI.cosφ = 3 UI.cosφ
    • La puissance réactive absorbée par un élément est VI.sinφ
    • Donc pour les 3 éléments : P = 3VI.sinφ = 3 UI.sinφ
  • Cas du couplage Δ :

    Dans le cas du couplage triangle, chaque élément est soumis à la tension composée du réseau U et traversé par le courant de branche J, ainsi :

    • La puissance active absorbée par un élément est UJ.cosφ
    • Donc pour les 3 éléments : P = 3UJ.cosφ = 3 UI.cosφ
    • La puissance réactive absorbée par un élément est UJ.sinφ
    • Donc pour les 3 éléments : P = 3UJ.sinφ = 3 UI.sinφ
  • Généralisation :

    Quelque soit le couplage :

    • La puissance active s'exprime en triphasé par : P = 3 UI.cosφ ou P = 3VI.cosφ
    • La puissance réactive s'exprime en triphasé par : Q = 3 UI.sinφ ou P = 3VI.sinφ
    • La puissance apparente s'exprime en triphasé par : S = 3 UI ou S = 3VI
    • P s'exprime en Watt (W), Q en Volt Ampère réactif (VAr) et S en Volt Ampère (VA).
  • Le Facteur de Puissance :

    Le facteur de puissance est défini par la relation f p = P S

    Il s’agit d’un nombre sans dimension toujours inférieur à 1.

    On peut le voir comme le résultat du calcul suivant : f p = utilisation investissement P représente la puissance active effectivement utilisée dans le transfert de puissance et S, la puissance apparente qui représente la tension et le courant effectivement investis pour le fonctionnement de l’appareil.

    Il est donc souhaitable que le facteur de puissance soit le plus proche de 1 possible. Pour cela, on relèvera éventuellement sa valeur.

    Dans le cas particulier des régimes sinusoïdaux : f p = P S = UI . cos φ UI f p = cos φ

  • Relations entre les puissances :
      On rappelle les relations suivantes :
    • S² = P² + Q²
    • Q = P.tanφ

7.4. Mesures de puissances en triphasé

Sinus
Fig 14 : Pour une installation triphasée équilibrée avec neutre, un seul wattmètre suffit pour mesurer la puissance active absorbée. Il faut alors le brancher comme indiqué sur le schéma.

Pour une installation triphasée équilibrée avec neutre sorti, on peu n’utiliser qu’un seul wattmètre pour mesurer la puissance active (cf Figure 14) :

On lit sur le wattmètre PL = VI cosφ

Donc  P = 3PL (3 x lecture)

Remarque : il existe des wattmètres triphasés auquel cas la mesure est directe

Grâce aux mesures de U ou V sur le voltmètre et I sur l’ampèremètre, on peut calculer S, Q et fP.

7.5. Relèvement du facteur de puissance

Sinus
Fig 16 : Pour relever le facteur de puissance d'une installation triphasé, on couple, en amont de l'installation, une batterie de condensateurs en triangle.

Une trop grande consommation d'énergie réactive pour une installation électrique va augmenter considérablement ses courants en ligne bien que sa puissance active n'ait pas changée.

EDF impose à  ses clients industriels que le facteur de puissance de leur installation soit supérieur à 0,93.

Cette amélioration présente de nombreux avantages :

  • diminution de la facture d'électricité en évitant les pénalités dues à la consommation d'énergie réactive au delà de la franchise allouée par EDF ;
  • réduction de la puissance souscrite par les abonnés ;
  • diminution de la section des câbles ;
  • diminution des pertes en ligne (ri²) ;
  • réduction de la chute de tension en ligne ;
  • augmentation de la puissance active disponible du transformateur.

Pour relever la valeur du facteur de puissance, il faut placer en entrée de l’installation 3 batteries de condensateurs couplées en triangle (cf Figure 16).

Alors UC = U, tension entre phases.

On souhaite faire passer le facteur de puissance de cosφ à cosφ' sans modifier la puissance active P appelée par l’installation.

Pour calculer l’expression de C, on applique le théorème de Boucherot :

Constituants Puissance active Puissance réactive
Installation seule P Q = P.tanφ
Condensateurs seuls 0 QC = -3CωU²
Installation + condensateurs P Q' = P.tanφ' = P.tanφ - 3cωU²

On exploite la dernière relation du tableau :

P.tanφ' = P.tanφ - 3cωU²

D'où C = P . tan φ tan φ ' 3 ωU ²

7.6. Effet Joule dans une machine triphasée

7.6.1. Introduction

Un enroulement d’une machine triphasé comporte une partie résistive qui est cause de perte de puissance par effet Joule.

Si on appelle r la résistance d’un enroulement de la machine, la résistance R que l’on mesure entre deux bornes de phase de la machine couplée est différente de r et dépend du couplage.

Regardons, par la suite, l'indluence des deux couplages.

7.6.2. Couplage étoile (Figure 17)

Sinus
Fig 17
Sinus
Fig 18 : La résistance prise entre 2 bornes d'une machine couplée en étoile est équivalente à la mise en série de deux résistances d'enroulements.

Chaque enroulement est soumis à l’intensité en ligne de valeur efficace I, donc chaque enroulement dissipe par effet Joule : rI²

Au total, les 3 enroulements dissipent : pj = 3rI²

A partir de la figure 18, on calcul la résistance entre 2 bornes de la machine couplée en étoile, on obtient : R = 2r, donc r = R/2

En remplaçant, r par R dans l'expression des pertes Joule, on obtient : pj = 3/2.RI²

7.6.3. Couplage triangle (Figure 19)

Sinus
Fig 19
Sinus
Fig 20 : La résistance prise entre 2 bornes d'une machine couplée en triangle est équivalente à la mise en parallèle de deux résistances d'enroulements associées en série avec une résistance d'enroulement.

Chaque enroulement est soumis à l’intensité dans une branche du triangle de valeur efficace J, donc chaque enroulement dissipe par effet Joule : rJ²

Au total, les 3 enroulements dissipent : pj = 3rJ² = rI² puisque J = 3 I

A partir de la figure 20, on calcul la résistance entre 2 bornes de la machine couplée en étoile, on obtient : R = 2/3.r, donc r = 3/2.R

En remplaçant, r par R dans l'expression des pertes Joule, on obtient : pj = 3/2.RI²

On constate que l'on obtient la même relation que pour le couplage étoile.

7.6.4. Généralisation

Quelque soit le couplage, si R est la résistance entre deux bornes de la machine déjà couplée, les pertes Joule dans cette machine s'exprime : pj = 3/2.RI²

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